Kinh tế lượng (Phần 4: Khuyết tật của mô hình, Đa cộng tuyến và Phương sai sai số thay đổi)

Hình 1. Quy trình tổng quan khi kiểm tra khuyết tật mô hình hồi quy.

1. Khung chẩn đoán khuyết tật của mô hình hồi quy

1.1. Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển và các điểm dễ “hỏng”

Xét mô hình hồi quy bội:

Trong thực hành, ta thường quan tâm bốn nhóm vấn đề: dạng hàm có đúng không, có thiếu biến quan trọng không, các biến giải thích có quá “giống nhau” không, và sai số có phương sai ổn định không. Phần này tập trung vào hai nhóm cuối: đa cộng tuyến và phương sai sai số thay đổi.

1.2. Tư duy chẩn đoán: không chỉ nhìn một con số

• Một ngưỡng thống kê không thay thế được lý thuyết kinh tế. VIF cao có thể chấp nhận được nếu biến đó là biến kiểm soát quan trọng để tránh sai lệch do bỏ sót biến.
• Kiểm định có ý nghĩa thống kê không đồng nghĩa với mức độ nghiêm trọng về kinh tế. Mẫu rất lớn có thể phát hiện phương sai sai số thay đổi nhỏ.
• Đồ thị phần dư, hiểu biết về dữ liệu và câu hỏi nghiên cứu phải đi cùng các kiểm định định lượng.
• Trong báo cáo, cần nêu hiện tượng, bằng chứng chẩn đoán, hậu quả có thể xảy ra, và cách xử lý đã chọn.

1. Hiện tượng đa cộng tuyến

2.1. Bản chất của đa cộng tuyến

Đa cộng tuyến xuất hiện khi một biến giải thích có thể được giải thích khá tốt bởi các biến giải thích còn lại. Khi đó, mô hình khó tách riêng tác động của từng biến trong khi giữ các biến khác không đổi.

Hình 2. Trực giác về đa cộng tuyến: các biến giải thích di chuyển gần như cùng nhau.

2.2. Đa cộng tuyến hoàn hảo và đa cộng tuyến không hoàn hảo

2.3. Trực giác Frisch-Waugh-Lovell: hệ số riêng dựa vào phần biến thiên còn lại

Khi ước lượng hệ số β_j trong hồi quy bội, phần mềm thực chất đang hỏi: sau khi đã loại bỏ phần của X_j được giải thích bởi các biến X khác, phần còn lại của X_j có liên hệ với phần còn lại của Y hay không?

Nếu phần biến thiên riêng này rất nhỏ, mô hình gần như không có đủ “thí nghiệm tự nhiên” để so sánh các quan sát chỉ khác nhau ở X_j nhưng giống nhau ở các X khác. Vì vậy, hệ số β̂_j có thể rất nhạy cảm với một vài quan sát hoặc với cách đặc tả mô hình.

2.4. Nguyên nhân thường gặp của đa cộng tuyến

• Các biến kinh tế có quan hệ tự nhiên: thu nhập – tài sản – tiêu dùng; quy mô doanh nghiệp – doanh thu – số lao động; trình độ học vấn – kinh nghiệm – vị trí công việc.
• Dữ liệu chuỗi thời gian có xu hướng tăng/giảm theo thời gian: GDP, vốn đầu tư, cung tiền, dân số.
• Mô hình có biến bậc hai hoặc tương tác: X và X² thường tương quan cao, đặc biệt khi X không được chuẩn hóa/centered.
• Mô hình có nhiều biến giả hoặc tạo biến giả sai cách: bẫy biến giả xảy ra khi đưa đủ tất cả nhóm và cả hằng số.
• Mẫu nhỏ hoặc biến giải thích có khoảng biến thiên hẹp: thông tin trong dữ liệu không đủ để tách tác động riêng.
• Thiết kế khảo sát hoặc chọn mẫu làm các biến đi cùng nhau: ví dụ chỉ khảo sát hộ gia đình ở một khu vực thu nhập tương tự.

2.5. Hậu quả của đa cộng tuyến đối với ước lượng OLS

Công thức trên cho thấy phương sai của β̂_j tăng khi R_j² tăng. Nếu X_j được các biến còn lại giải thích rất tốt, thì 1 – R_j² rất nhỏ, làm phương sai và sai số chuẩn của β̂_j phình lớn.

2.6. Phát hiện đa cộng tuyến

a) Nhìn tương quan cặp: hữu ích nhưng không đủ

Ma trận tương quan giữa các biến giải thích là bước kiểm tra nhanh. Tuy nhiên, một biến có thể không tương quan quá cao với từng biến riêng lẻ nhưng lại được giải thích rất tốt bởi tổ hợp nhiều biến khác. Vì vậy, tương quan cặp không phải là bằng chứng cuối cùng.

b) Hồi quy phụ và hệ số phóng đại phương sai VIF

Để tính VIF cho biến X_j, ta hồi quy X_j theo tất cả các biến giải thích còn lại, lấy R_j² của hồi quy phụ đó, rồi tính:

Hình 3. VIF tăng phi tuyến khi R_j² của hồi quy phụ tiến gần 1.

c) Dấu hiệu từ bảng kết quả hồi quy

• R² hoặc F-test chung có ý nghĩa nhưng nhiều kiểm định t riêng lẻ không có ý nghĩa.
• Dấu của hệ số trái với lý thuyết và thay đổi khi thêm/bớt biến kiểm soát.
• Sai số chuẩn lớn bất thường ở các biến có liên quan kinh tế gần nhau.
• Khoảng tin cậy rất rộng.
• Tương quan giữa các ước lượng hệ số cao; condition number/condition index lớn nếu phần mềm cung cấp.

2.7. Cách xử lý đa cộng tuyến

2.8. Ví dụ minh họa: tiền lương, học vấn và kinh nghiệm

Giả sử ta ước lượng mô hình:

Trong dữ liệu lao động, age, experience và tenure thường có liên hệ chặt chẽ. Nếu đưa đồng thời cả ba biến, mô hình có thể gặp đa cộng tuyến cao. Khi đó β₂ hoặc β₄ có thể không có ý nghĩa thống kê riêng lẻ, dù nhóm biến liên quan đến tuổi/nghề nghiệp vẫn có ý nghĩa khi xét chung.

1. Hiện tượng phương sai sai số thay đổi

3.1. Bản chất của phương sai sai số thay đổi

Giả định phương sai sai số không đổi yêu cầu mức độ phân tán của sai số quanh đường hồi quy là như nhau cho mọi quan sát, sau khi đã điều kiện theo các biến giải thích.

Khi phương sai sai số thay đổi, mô hình vẫn có thể mô tả đúng trung bình có điều kiện E(y|X), nhưng mức độ “ồn” quanh trung bình này khác nhau giữa các quan sát.

Hình 4. Dữ liệu có phương sai sai số tăng theo quy mô X.

3.2. Bản chất kinh tế: vì sao phương sai sai số thay đổi thường gặp?

• Hiệu ứng quy mô: doanh nghiệp lớn có lợi nhuận tuyệt đối biến động mạnh hơn doanh nghiệp nhỏ; hộ thu nhập cao có mức chi tiêu phân tán hơn hộ thu nhập thấp.
• Khác biệt nhóm: thành thị/nông thôn, doanh nghiệp niêm yết/chưa niêm yết, ngành nghề khác nhau có độ biến động khác nhau.
• Sai số đo lường không đồng đều: dữ liệu thu nhập cao hoặc tài sản lớn có thể được khai báo kém chính xác hơn.
• Mô hình thiếu biến hoặc sai dạng hàm: nếu bỏ sót yếu tố ảnh hưởng đến độ biến động, phần dư có thể phình ra theo X.
• Dữ liệu tỷ lệ và dữ liệu chéo: trong cross-section, mức độ biến động thường khác nhau giữa các đơn vị quan sát.

3.3. Hậu quả đối với OLS

3.4. Phát hiện phương sai sai số thay đổi

a) Quan sát đồ thị phần dư

Sau khi ước lượng OLS, vẽ phần dư e_i theo y dự báo hoặc theo từng biến giải thích quan trọng. Nếu độ phân tán của phần dư tăng/giảm có hệ thống, có dấu hiệu phương sai sai số thay đổi.

b) Kiểm định Breusch-Pagan

Kiểm định Breusch-Pagan kiểm tra xem phương sai sai số có phụ thuộc tuyến tính vào một hoặc nhiều biến giải thích hay không. Quy trình cơ bản:

1. Ước lượng mô hình gốc bằng OLS và lấy phần dư e_i.
2. Tính e_i².
3. Hồi quy phụ e_i² theo các biến giải thích nghi ngờ gây phương sai thay đổi.
4. Kiểm định giả thuyết H₀: các hệ số trong hồi quy phụ bằng 0, nghĩa là phương sai không phụ thuộc vào các biến đó.
5. Nếu p-value nhỏ hơn mức ý nghĩa, bác bỏ H₀ và kết luận có bằng chứng về phương sai sai số thay đổi.

c) Kiểm định White

Kiểm định White tổng quát hơn Breusch-Pagan vì hồi quy phụ thường bao gồm các biến gốc, bình phương và tích chéo của các biến giải thích. Do đó, White có thể phát hiện nhiều dạng phương sai sai số thay đổi phi tuyến hơn.

3.5. Biện pháp khắc phục phương sai sai số thay đổi

Hình 5. Hai hướng xử lý phổ biến: sửa suy luận bằng robust SE hoặc thay đổi phương pháp ước lượng bằng WLS/FGLS.

a) Sai số chuẩn vững – Robust Standard Errors

Sai số chuẩn vững không thay đổi hệ số OLS. Nó thay đổi cách tính ma trận phương sai-hiệp phương sai của β̂ để cho phép Var(u_i|X) khác nhau giữa các quan sát. Vì vậy, các giá trị t, p-value và khoảng tin cậy sẽ thay đổi.

• Dùng khi mục tiêu chính là suy luận về hệ số trong mô hình trung bình có điều kiện và không chắc cấu trúc phương sai cụ thể.
• Trong mẫu lớn, robust SE là lựa chọn thực hành rất phổ biến.
• Các phiên bản HC0, HC1, HC2, HC3 khác nhau ở hiệu chỉnh mẫu; HC1 thường được phần mềm dùng mặc định, HC3 thường thận trọng hơn trong mẫu nhỏ.
• Robust SE không chữa sai dạng hàm, không chữa thiếu biến quan trọng, không tự loại bỏ ngoại lệ.

b) Bình phương tối thiểu có trọng số – WLS

Nếu biết hoặc ước lượng được cấu trúc phương sai sai số, ta có thể gán trọng số lớn hơn cho quan sát có phương sai nhỏ và trọng số nhỏ hơn cho quan sát có phương sai lớn. Ý tưởng là quan sát chính xác hơn nên được tin nhiều hơn.

Một cách nhìn khác: chia cả hai vế mô hình cho √h_i để biến sai số mới có phương sai không đổi:

c) FGLS – Bình phương tối thiểu tổng quát khả thi

Trong thực tế, h_i thường không biết. FGLS ước lượng h_i từ dữ liệu, sau đó dùng trọng số ước lượng để chạy WLS. Quy trình tổng quát:

1. Chạy OLS ban đầu và lấy phần dư e_i.
2. Mô hình hóa phương sai của sai số, ví dụ ln(e_i²) theo các biến quy mô hoặc các biến nghi ngờ.
3. Từ mô hình phương sai, tính ĥ_i.
4. Chạy WLS với trọng số w_i = 1/ĥ_i.
5. Kiểm tra độ nhạy của kết quả vì nếu mô hình phương sai sai, FGLS có thể không tốt hơn robust SE.

3.6. Ví dụ minh họa: chi tiêu hộ gia đình và thu nhập

Mô hình gốc:

Trong dữ liệu hộ gia đình, các hộ thu nhập cao thường có mức chi tiêu phân tán hơn hộ thu nhập thấp. Do đó, Var(u_i|income_i) có thể tăng theo income_i. Nếu kiểm định Breusch-Pagan cho p-value = 0,003, ta có bằng chứng về phương sai sai số thay đổi.

1. So sánh nhanh và quy trình thực hành

4.1. So sánh đa cộng tuyến và phương sai sai số thay đổi

4.2. Checklist thực hành khi làm bài tập/tiểu luận

1. Ước lượng mô hình OLS ban đầu và lưu phần dư.
2. Kiểm tra logic kinh tế của dấu và độ lớn hệ số trước khi nhìn p-value.
3. Tính VIF cho các biến giải thích; xác định biến nào có VIF cao và vì sao.
4. Vẽ phần dư theo giá trị dự báo và theo biến quy mô quan trọng.
5. Thực hiện kiểm định Breusch-Pagan hoặc White nếu nghi ngờ phương sai sai số thay đổi.
6. Nếu có heteroskedasticity, báo cáo sai số chuẩn vững hoặc giải thích vì sao dùng WLS/FGLS.
7. Nếu có đa cộng tuyến, không xóa biến máy móc; xem lại vai trò biến kiểm soát, biến trùng nội dung và mục tiêu nghiên cứu.
8. Viết kết luận theo cấu trúc: bằng chứng → hậu quả → cách xử lý → kết quả sau xử lý.

4.3. Mẫu câu viết kết luận trong báo cáo

1. Ví dụ tổng hợp và bài tập tự luyện

5.1. Ví dụ tổng hợp

Một nhóm sinh viên nghiên cứu ảnh hưởng của chi tiêu quảng cáo đến doanh thu của doanh nghiệp. Mô hình đề xuất:

Sau khi chạy OLS, nhóm thu được các thông tin sau: R² = 0,82; hệ số advertising dương nhưng p-value = 0,11; VIF của employees = 12,5 và assets = 14,2; kiểm định White có p-value = 0,01.

5.2. Bài tập tự luyện

5.3. Gợi ý đáp án ngắn

1. Tóm tắt cuối phần